Geometria różniczkowa, czyli badanie własności krzywych i powierzchni w przestrzeniach wielowymiarowych

Konspect zajęć

Konspekt zajęć korepetycji z matematyki wyższej o tematyce Geometria różniczkowa, czyli badanie własności krzywych i powierzchni w przestrzeniach wielowymiarowych

I. Wstęp do geometrii różniczkowej
- Co to jest geometria różniczkowa?
- Przykłady zastosowań w praktyce
- Z czym się związuje geometria różniczkowa? (topologia, analiza matematyczna, fizyka, informatyka)

II. Krzywe w przestrzeniach wielowymiarowych
- Definicje pojęcie krzywej, wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej
- Krzywe w R^n - przykłady, własności, parametryzacja
- Krzywe na powierzchniach - krzywizna, torsja, równoległość
- Parametryzacja krzywych na powierzchniach

III. Powierzchnie w przestrzeniach wielowymiarowych
- Definicje pojęcie powierzchni, krzywizna, torsja, płaszczyzna styczna
- Powierzchnie w R^n - przykłady, własności, parametryzacja
- Powierzchnie reprezentujące obiekty w przestrzeni trójwymiarowej - matematyczne modele
- Powierzchnie o stałej krzywiźnie średniej - sfera, hiperboloida, torus
- Powierzchnie styczne - definicja i własności

IV. Geometria różniczkowa w zastosowaniach
- Mechanika i geometria różniczkowa
- Analityczna geometria różniczkowa w przetwarzaniu obrazów
- Geometria różniczkowa w matematyce stosowanej - rozwijanie funkcji, równania różniczkowe

V. Ćwiczenia praktyczne
- Rozwiązywanie zadań związanych z geometrią różniczkową
- Analiza przypadków praktycznych, w których geometria różniczkowa ma zastosowanie
- Tworzenie własnych modeli powierzchni i krzywych

VI. Podsumowanie
- Rekapitulacja omówionych zagadnień
- Dyskusja na temat przykładowych zastosowań geometrii różniczkowej
- Wyjaśnienie wątpliwości uczestników zajęć.