Korepetycje z matematyki dyskretnej

2021-10-19

Temat zajęć :

Teoria liczb - dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb całkowitych, różne rodzaje liczb, algorytmy poszukiwania liczb pierwszych i ich zastosowania

Teoria liczb jest działem matematyki dyskretnej, który zajmuje się badaniem własności liczb całkowitych. W ramach tej teorii badane są zagadnienia dotyczące dodawania, odejmowania, mnożenia oraz dzielenia liczb całkowitych, jak również różne rodzaje liczb, takie jak liczby pierwsze, niewymierności czy liczby zespolone. Algorytmy poszukiwania liczb pierwszych są szczególnie przydatne w kryptografii oraz w teorii kodowania.

Skrótowy zarys korepetycji z matematyki dyskretnej :

Temat korepetycji z matematyki dyskretnej, związanym z teorią liczb, jest niezwykle ciekawy i ważny zarówno dla studentów informatyki, jak i innych osób zainteresowanych matematyką. W dzisiejszym artykule postaramy się omówić w sposób przystępny najważniejsze zagadnienia związane z liczbami całkowitymi.

Definicja liczb całkowitych. Liczby całkowite to liczby, które nie posiadają ułamkowej części. Oznacza to, że są to liczby naturalne, zero i liczby ujemne, czyli zbiór {., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .}. Przydadzą się nam one w przyszłości do rozwiązywania równań oraz algorytmów w dziedzinie informatyki.

Podstawowe właściwości liczb całkowitych. Właściwości liczb całkowitych to m.in. - prawa skojarzenia dodawania i mnożenia (a+b)+c=a+(b+c), a(bc)=(ab)c. - prawa przemienności dodawania i mnożenia a+b=b+a, ab=ba. - prawo dystrybucji mnożenia względem dodawania a(b+c)=ab+ac. - istnienie jedności dodawania i mnożenia a+0=a, a.1=a. - istnienie elementu przeciwnego a+(-a)=0. Definicja dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb całkowitych. Dodawanie liczb całkowitych polega na łączeniu dwóch lub więcej liczb, aby uzyskać ich sumę. Jeśli dodajemy liczbę ujemną do liczby dodatniej, to wykonujemy odejmowanie. Mnożenie liczb całkowitych to operacja łączenia dwóch lub więcej liczb, aby uzyskać ich iloczyn. Dzielenie liczb całkowitych wymaga trochę więcej uwagi, ponieważ dzielenie przez zero jest zabronione. Ponadto wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych daje nam część całkowitą i resztę. Np. 11/4=2 i r=3.

Przykłady obliczeń. Dodawanie 6+(-4)=2. Odejmowanie 9-(-3)=12. Mnożenie 3*(-7)=-21. Dzielenie 22/5=4 r=2. Liczby parzyste i nieparzyste. Liczby parzyste to liczby, które są podzielne przez 2, czyli ich reszta z dzielenia przez 2 wynosi 0. Natomiast liczby nieparzyste to te, które nie są podzielne przez 2, czyli ich reszta z dzielenia przez 2 wynosi 1.

Liczby pierwsze i złożone. Liczba naturalna n>1 nazywa się liczbą pierwszą, gdy ma dokładnie dwa dzielniki naturalne 1 i n. Natomiast liczba naturalna n>1 jest złożona, jeśli posiada więcej niż dwa naturalne dzielniki.

Liczby pierwsze niewystępujące w ciągu. Liczby pierwsze niewystępujące w ciągu to takie, które nie są obecne w określonym ciągu liczb. Jest to bardzo ważna kwestia w matematyce dyskretnej, ponieważ pomaga nam wyznaczyć, które liczby są najmniejszymi dzielnikami danego zbioru liczb.

Sito Eratostenesa. Sito Eratostenesa to jeden z algorytmów poszukiwania liczb pierwszych. Polega on na odsiewaniu wielokrotności liczb pierwszych aż do uzyskania wszystkich liczb pierwszych. Ten algorytm został nazwany na cześć greckiego matematyka Eratostenesa.

Test Fermata. Test Fermata to jedna z metod sprawdzania, czy liczba jest pierwsza. Polega ona na obliczeniu a^(n-1) modulo n. Jeśli wynik tego działania jest inny niż 1, to liczba n z pewnością nie jest pierwsza.

Zastosowania liczb pierwszych w kryptografii. Liczby pierwsze są ważne w kryptografii, ponieważ są stosowane do szyfrowania i odszyfrowywania wiadomości. Algorytmy kryptograficzne opierają się na skomplikowanych obliczeniach z wykorzystaniem liczb pierwszych. Dzięki tym obliczeniom niepowołane osoby nie są w stanie odczytać wiadomości.

Obliczanie dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb całkowitych. Obliczanie działań matematycznych na liczbach całkowitych wymaga umiejętności korzystania z podstawowych reguł i właściwości tych liczb. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie są dość proste, jednak dzielenie bywa trudniejsze. Warto zapamiętać, że dzielenie przez zero jest zabronione.

Poszukiwanie liczb pierwszych przy użyciu sita Eratostenesa. Poszukiwanie liczb pierwszych przy użyciu sita Eratostenesa polega na kolejnym wykreślaniu wielokrotności danego liczby pierwszej aż do pozostania tylko liczb pierwszych. Ten algorytm pozwala szybciej i sprawniej odnaleźć liczby pierwsze niż w tradycyjny sposób.

Zastosowania liczb pierwszych w kryptografii. Liczby pierwsze są ważne w kryptografii, ponieważ stanowią podstawę wielu algorytmów. Dzięki nim możliwe jest zabezpieczanie danych i przesyłanie poufnych informacji.

Powtórzenie najważniejszych pojęć i zasad. Najważniejsze pojęcia i zasady związane z teorią liczb to liczby całkowite, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, liczby parzyste i nieparzyste, liczby pierwsze i złożone, sito Eratostenesa, test Fermata, zastosowania liczb pierwszych w kryptografii.

Omówienie zagadnień wymagających uzupełnienia wiedzy. W matematyce dyskretnej znajduje się wiele zagadnień wymagających wgłębienia się w daną tematykę. W przypadku teorii liczb, można pogłębić swoją wiedzę o symbolu Legendrea, teorii reszt kwadratowych oraz ciałach skończonych.

Zadanie domowe. Jako zadanie domowe, warto przeprowadzić samodzielnie poszukiwanie liczb pierwszych w danym przedziale za pomocą sita Eratostenesa. Zadanie to pozwoli na utrwalenie wiedzy i ćwiczenie umiejętności wykorzystania algorytmu w praktyce.

Podsumowanie. W dzisiejszym artykule omówiliśmy zasady działania liczb całkowitych oraz zagadnienia związane z teorią liczb. Przypomnieliśmy najważniejsze definicje i właściwości, a także zaprezentowaliśmy przykłady obliczeń oraz algorytmów poszukiwania liczb pierwszych. Teoria liczb jest ważnym zagadnieniem w dziedzinie matematyki i informatyki, dlatego warto dokładniej zgłębić jej tajniki. Korepetycje z matematyki to doskonała okazja, aby poszerzyć swoją wiedzę i umiejętności w tej dziedzinie.

korepetycje e korepetycje ekorepetycje
korepetycje online e korepetycje online ekorepetycje online
korepetycje z matematyki dyskretnej e korepetycje z matematyki dyskretnej ekorepetycje z matematyki dyskretnej