Korepetycje z matematyki dyskretnej

2021-04-12

Temat zajęć :

Zestawy liczbowe i ich własności, w tym liczby pierwsze, podzielne i względnie pierwsze, wraz z przykładami ich zastosowania w kryptografii

W matematyce dyskretnej rozważa się różne rodzaje zestawów liczbowych oraz ich własności, takie jak liczby pierwsze, podzielne i względnie pierwsze. Liczby te mają wiele zastosowań w kryptografii, m.in. w algorytmach szyfrowania asymetrycznego, gdzie klucz publiczny i prywatny opierają się na faktoryzacji dużych liczb pierwszych. Potrzeba stosowania takich liczb wynika z faktu, że obecnie nie istnieje algorytm, który byłby w stanie szybko rozwiązać tzw. problem faktoryzacji dużych liczb pierwszych.

Skrótowy zarys korepetycji z matematyki dyskretnej :

E Korepetycje z matematyki dyskretnej – przegląd pojęć i zastosowanie w kryptografii. Matematyka dyskretna to gałąź matematyki zajmująca się strukturami dyskretnymi, takimi jak np. liczby całkowite, grafy czy zbiory skończone. Jej zastosowania znajdują się w informatyce, teorii grafów, algorytmach, kryptografii i wielu innych dziedzinach. W dzisiejszym artykule chcielibyśmy przybliżyć ten temat, a zwłaszcza przedstawić zestawy liczbowe i ich własności, pojęcia zbioru liczb naturalnych, całkowitych i rzeczywistych aż do zastosowań w kryptografii.

Zestawy liczbowe i ich własności. Zestaw liczbowy to zbiór liczbowy wyznaczony przez określone reguły. W matematyce dyskretnej najczęściej używane są trzy zestawy liczb liczby naturalne, liczby całkowite i liczby rzeczywiste.

Liczby naturalne oznaczane są symbolem N i zawierają wszystkie nieujemne liczby całkowite 0, 1, 2, 3, 4, 5, itd.

Liczby całkowite zawierają w sobie liczby naturalne oraz ich przeciwieństwa. Oznacza się je symbolem Z (od niemieckiego słowa “Zahlen” oznaczającego “liczby”). Zbiór liczb całkowitych składa się z liczb ujemnych, zer i liczb dodatnich …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. W matematyce dyskretnej często korzysta się z pojęcia wartości bezwzględnej, oznaczanej przez znak “|x|”, która podaje odległość liczby od zera. Jeśli x jest liczbą całkowitą, to jej wartość bezwzględna jest równa wartości bezwzględnej liczby jej przeciwnej.

Liczby rzeczywiste, oznaczane przez symbole R, zawierają wszystkie liczby, które można przedstawić na osi liczbowej. Obejmują liczby całkowite, wymierne i niewymierne, takie jak np. liczba pi czy pierwiastek kwadratowy z 2.

W kryptografii szczególną uwagę zwraca się na liczby pierwsze, liczb podzielnych i liczb względnie pierwszych.

Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od 1, które są podzielne tylko przez 1 i samą siebie. Przykłady liczb pierwszych to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 itd. W kryptografii liczby pierwsze odgrywają kluczową rolę w procesie szyfrowania danych, dlatego są one obecne w algorytmach kryptograficznych.

Liczby podzielne to liczby, które dzielą się bez reszty przez inną liczbę. Np. 4 jest podzielne przez 2, gdyż 4/2=2, 5 nie jest podzielne przez 2, gdyż 5/2=2 reszty 1. W kryptografii, liczby podzielne wymagane są do tworzenia kluczy publicznych i prywatnych.

Liczby względnie pierwsze to liczby, które nie mają żadnego wspólnego dzielnika poza 1. Np. 7 i 10 są liczbami względnie pierwszymi, gdyż ich jedynymi dzielnikami są liczby 1 i liczba sama. Liczby względnie pierwsze wykorzystywane są w kryptografii do ukrywania wiadomości.

Służącym do wyznaczania liczb pierwszych algorytmem jest sito Eratostenesa, które polega na kolejnym odrzucaniu wielokrotności liczb pierwszych na liście wszystkich liczb naturalnych począwszy od 2. Algorytm ten pozwala na szybkie wyznaczanie liczb pierwszych w zadanych przedziałach.

Właściwości liczb pierwszych, podzielnych i względnie pierwszych pozwalają na skuteczne tworzenie algorytmów kryptograficznych, które wykorzystywane są m.in. do zabezpieczania danych w sieci.

Przykłady zastosowania zestawów liczb w życiu codziennym. Za pomocą matematyki dyskretnej można rozwiązać wiele problemów z życia codziennego, takich jak organizacja grafów komunikacji, kontrola procesów produkcyjnych, badanie sieci społecznych, analizę algorytmów itd.

W matematyce finansowej, zestawy liczbowe wykorzystywane są na przykład do obliczania wartości przyszłej inwestycji, określania stóp procentowych, analizowania przepływów pieniężnych itp.

W połączeniu z algorytmami kryptograficznymi, matematyka dyskretna pozwala na tworzenie zabezpieczeń do przesyłania poufnych informacji przez internet.

Zadania dla uczniów do wykonania w domu. 1. Utwórz listę 10 liczb pierwszych większych niż 20. 2. Stwórz listę 10 liczb podzielnych przez 3. 3. Wyznacz największy wspólny dzielnik liczby 18 i 24. 4. Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 6 i 8. 5. Sprawdź czy liczby 24 i 35 są względnie pierwsze. 6. Wyznacz sumę, iloczyn i różnicę zbiorów A={1,2,3,4,5} i B={3,4,5,6,7}. Udzielanie odpowiedzi na pytania związane z tematem zajęć. 1. Czym są liczby pierwsze? 2. W jaki sposób można wyznaczyć liczby pierwsze za pomocą sita Eratostenesa? 3. Co oznacza wartość bezwzględna liczby całkowitej? 4. W jaki sposób można wyznaczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb? 5. Czym są liczby względnie pierwsze i jakie mają zastosowanie w kryptografii? 6. Dlaczego matematyka dyskretna jest ważna dla informatyki i kryptografii? Podsumowanie. Matematyka dyskretna jest niezwykle ważna w dzisiejszym świecie. Zestawy liczb i ich właściwości, w tym liczby pierwsze, podzielne i względnie pierwsze są kluczowymi elementami algorytmów kryptograficznych, które pozwalają na zabezpieczenie informacji w sieci. E Korepetycje z matematyki dyskretnej są doskonałym sposobem na pogłębienie wiedzy i praktycznych umiejętności w tym obszarze matematyki.

korepetycje e korepetycje ekorepetycje
korepetycje online e korepetycje online ekorepetycje online
korepetycje z matematyki dyskretnej e korepetycje z matematyki dyskretnej ekorepetycje z matematyki dyskretnej