Korepetycje z matematyki dyskretnej

2021-03-07

Temat zajęć :

Teoria liczb - podstawy arytmetyki modularnej, twierdzenie Wilsona, teoria liczb pierwszych, wykonanie testów liczbowych

Teoria liczb jest dziedziną matematyki zajmującą się badaniem własności liczb całkowitych. W ramach tej dziedziny omawia się m.in. podstawy arytmetyki modularnej, czyli działania na resztach z dzielenia przez dany moduł. W teorii liczb ważnym twierdzeniem jest twierdzenie Wilsona, mówiące o sposobie wyznaczania liczby odwrotnej do danej liczby w pewnej arytmetyce. Innym ważnym zagadnieniem w tej dziedzinie jest teoria liczb pierwszych, czyli badanie własności liczb, które mają tylko dwa dzielniki (1 i siebie samego). W ramach tej teorii stosuje się również testy liczbowe, pozwalające na sprawdzenie, czy dana liczba jest pierwsza.

Skrótowy zarys korepetycji z matematyki dyskretnej :

E Korepetycje z matematyki dyskretnej stały się coraz bardziej popularne, a to ze względu na rosnące wymagania edukacyjne oraz potrzebę zdobywania specjalistycznej wiedzy w dziedzinie nauk matematycznych. Jednym z najważniejszych tematów, które pojawiają się na e korepetycjach z matematyki dyskretnej, jest teoria liczb. Przyczyną tego są nie tylko rozwijające się branże informatyczne, ale również rosnące zainteresowanie kryptografią, która opiera się na liczbach pierwszych i arytmetyce modularnej.

Arytmetyka modularna polega na zestawieniu liczb w tzw. klasy reszt modulo n. Oznacza to, że każdej liczbie przypisuje się pewną reprezentację w postaci liczby z przedziału od 0 do n-1. Takie klasy reszt oznaczamy symbolem a mod n, gdzie a to liczba, a n to naturalne liczba n większa od 1. Przykładowo, 7 mod 2 to 1, gdyż 7 dzieli się przez 2 z resztą 1.

W arytmetyce modularnej wykorzystuje się również podstawowe operacje matematyczne, takie jak dodawanie i mnożenie. Aby wykonać dodawanie, należy dodać klasy reszt kolejnych liczb, natomiast mnożenie polega na przemnożeniu dwóch klas reszt i przypisaniu im nowej reprezentacji.

Warto zaznaczyć, że w arytmetyce modularnej klasy reszt liczby a są ze sobą równoważne, gdyż równoważność ta zachodzi wtedy, gdy różnica a- b jest podzielna przez n. Na przykład, liczby 3, 11 i 19 są równoważne modulo 8, gdyż obiektami arytmetyki modularnej w tej dziedzinie są klasy reszt [3], [11] oraz [19].

Pojęcie silni jest znane w matematyce powszechnej i definiuje się ją jako iloczyn liczb naturalnych od 1 do n (lub n do 1, w zależności od przyjętej konwencji). W arytmetyce modularnej definiujemy silnię jako produkt klas reszt liczb mniejszych od n i zgodnie z definicją.

Wyprowadzenie twierdzenia Wilsona. Twierdzenie Wilsona jest jednym z najważniejszych wyników w teorii liczb. Jest to stwierdzenie, które daje możliwość sprawdzenia, czy dana liczba naturalna jest liczbą pierwszą czy też nie. Aby wyjaśnić, jak działa twierdzenie Wilsona, musimy wprowadzić pojęcie modulo.

Jak już wspomnieliśmy, modulo to działanie polegające na reszcie z dzielenia. Na przykład w arytmetyce modulo 7 po podzieleniu dowolnej liczby przez 7 otrzymamy resztę z przedziału 0 do 6. Teraz zobaczmy, jak działa to na faktoryzacji silni.

Załóżmy, że mamy liczbę naturalną n większą od 1. Zadaniem będzie obliczenie silni z (n-1) modulo n. Oczywiście można wyznaczyć silnię bezpośrednio i sprawdzić, czy wynik dzieli się przez n. Jednakże Wilson zauważył, że istnieje prostszy sposób na to, aby stwierdzić, czy silnię (n-1) można podzielić przez n czy też nie.

Według twierdzenia Wilsona, silnia liczby naturalnej n (n>1) jest podzielna przez liczbę n wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.

Przykłady zastosowania twierdzenia Wilsona. Twierdzenie Wilsona ma liczne zastosowania w matematyce i informatyce. Jeden z najpopularniejszych przypadków to kryptografia, a dokładniej - generowanie kluczy prywatnych oraz publicznych w mechanizmach kryptograficznych opierających się na kluczach symetrycznych.

Korzystając z twierdzenia Wilsona, możemy wykazać, że liczba n jest pierwsza, co jest równoznaczne z tym, że jej odwrotność modulo (n-1) jest prosta do obliczenia. Takie podejście pozwala na generowanie kluczy prywatnych w minimalnym czasie.

Definicja liczby pierwszej. Liczba pierwsza jest to taka liczba naturalna, która nie ma innych dzielników niż 1 i ona sama. Na przykład, 2, 3, 5, 7, 11 czy 13 to liczby pierwsze. Wszystkie inne liczby naturalne oprócz 1 i 2 dzielą się przez 2 lub 3, co uniemożliwia ich status jako liczby pierwszej.

Własności liczb pierwszych. Liczby pierwsze charakteryzują się wieloma interesującymi właściwościami, z których najważniejsze to.

- Wszystkie liczby większe od 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. - Jeśli p jest liczbą pierwszą, to q=2p+1 jest albo liczbą pierwszą albo liczbą złożoną. Algorytm Euklidesa i twierdzenie Euklidesa. Algorytm Euklidesa jest bardzo popularnym algorytmem wykorzystywanym w matematyce do obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych. Algorytm polega na wykorzystaniu twierdzenia Euklidesa, które mówi, że największy wspólny dzielnik dwóch liczb a i b jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi b i reszty z dzielenia a przez b.

Test pierwszości. Test pierwszości jest to procedura matematyczna, która pozwala stwierdzić, czy dana liczba jest liczbą pierwszą czy też nie. Istnieje wiele różnych metod testowania pierwszości, takich jak.

- Test Fermata. - Test MR (Miller-Rabina). - Test SS (Solovaya-Strassena). Test Wojtka na liczbę pierwszą polega na sprawdzeniu, ile błędnych propozycji złożył uczeń Wojtek. Następnie sprawdza się, czy liczba błędnych wyników uczeń Wojtek złożył jest liczbą pierwszą. Jeśli tak, to uczeń jest przyjmowany do szkoły wyższej.

Testy jedno- i wielopodstawowe. W testach jednopodstawowych najczęściej wykorzystuje się test Fermata, który wykorzystuje twierdzenie Fermata, i test Wilsona. W testach wielopodstawowych wykorzystuje się test Millera-Rabina.

Test Millera-Rabina i test Solovaya-Strassena. Test Millera-Rabina oraz test Solovaya-Strassena są testami probabilistycznymi, które działają szybciej niż testy deterministyczne, ale ich wynik nie jest stuprocentowo pewny, że liczba jest pierwsza. Testy te opierają się na różnych właściwościach liczb, np. na cykliczności pól resztowych grup multiplikatywnych modulo modulo.

Porównanie skuteczności testów. Wybór testu zawsze zależy od problemu, który musimy rozwiązać. Test deterministyczny jest pewny, ale działa wolniej niż jego probabilistyczny odpowiednik. W przypadku, gdy konieczne jest szybkie sprawdzenie największej liczby możliwych liczb, najlepszym wyborem są testy probabilistyczne. W każdym przypadku warto rozważyć wszystkie dostępne narzędzia i wybrać takie, które daje najlepsze efekty w danym przypadku.

korepetycje e korepetycje ekorepetycje
korepetycje online e korepetycje online ekorepetycje online
korepetycje z matematyki dyskretnej e korepetycje z matematyki dyskretnej ekorepetycje z matematyki dyskretnej