Korepetycje z matematyki dyskretnej

2021-07-18

Temat zajęć :

Teoria grup Wprowadzenie do pojęcia grupy, działania grupowe, własności grupy, cykle i permutacje

Teoria grup w matematyce dyskretnej to dziedzina zajmująca się badaniem struktury grup na zbiorach elementów, które spełniają określone własności. Grupę definiuje się jako zbiór elementów wraz z działaniem grupowym, które jest przemienne, łączne oraz posiada element neutralny i element odwrotny dla każdego elementu grupy. W teorii grup badane są również cykle i permutacje, czyli działania grupowe, które pozwalają na przestawianie elementów w zaproponowany sposób. Własności grup pozwalają na rozwiązywanie wielu problemów z różnych dziedzin, np. kryptografii, teorii grafów czy również matematyki stosowanej.

Skrótowy zarys korepetycji z matematyki dyskretnej :

Przywitanie się. Cześć Witajcie na kolejnym wpisie na moim blogu o korepetycjach Dzisiaj porozmawiamy o matematyce dyskretnej, a dokładniej o teorii grup. Zapraszam Was do kolejnych zajęć, które mamy dziś zaplanowane.

Przedstawienie planu zajęć. Dzisiejsze korepetycje skupią się na omówieniu teorii grup. Na początku zaprezentuję Wam pojęcie grupy, pokażę przykłady grup i omówię elementy grupy - element neutralny i element odwrotny. Następnie omówimy działania grupowe oraz aksjomaty grupy. Kolejnym punktem dzisiejszych zajęć będzie przedstawienie własności grupy, w tym zamiana elementów grupy, powtarzanie operacji oraz własności elementu neutralnego i elementu odwrotnego.

W kolejnej części zajęć skupimy się na pojęciu permutacji - zdefiniuję permutację, zaprezentuję zapis permutacji, a także wyjaśnię, czym są inwolucje i transpozycje. Omówimy także cykle permutacji, a dokładniej definicję cyklu oraz notację cykli. Porozmawiamy również o związku pomiędzy cyklami a permutacjami oraz o działaniach grupowych na permutacjach. Przejdziemy także do mnożenia permutacji oraz do związku grupy permutacji z grupą symetrii.

W kolejnym etapie przystąpimy do rozwiązywania przykładów. Waszym zadaniem będzie wykonanie zadań związanych z omawianymi wcześniej zagadnieniami. Wykonywanie tych zadań pozwoli Wam na nabycie pewności w wykorzystaniu pojęć, które przyswoiliście podczas dzisiejszych zajęć. Przypomnijmy, że praktyka czyni mistrza.

Po wykonaniu zadań, przedstawimy omówienie najważniejszych zagadnień, a także udzielę odpowiedzi na Wasze pytania. Podsumujemy dzisiejsze zajęcia i podzielę się z Wami pracą domową, którą wykonacie przed kolejnym spotkaniem z korepetytorem.

Omówienie celów korepetycji. Celem dzisiejszych korepetycji jest zapoznanie się z teorią grup, a dokładniej z pojęciem grupy, jej elementami, działaniami i własnościami, a także permutacjami i ich związkami z grupami. Podczas dzisiejszych zajęć będziemy również skupiać się na rozwiązywaniu problemów i wykonywaniu zadań, które pozwolą nam lepiej zrozumieć teoria grup.

Wstęp do pojęcia grupy. Przed przystąpieniem do omawiania teorii grup, warto przybliżyć definicję pojęcia grupy. Grupa to zbiór, w którym wyróżnia się pewne działania, które spełniają określone warunki. Jest to pewien zbiór elementów, wraz z działaniem określonym między nimi.

Definicja grupy. Grupa to para (G, *) składająca się z niepustego zbioru G oraz działania *, które spełnia pewne aksjomaty. Zbiór G nazywamy grupą, jeśli dla każdych elementów a, b, c zachodzi.

1. a * (b * c) = (a * b) * c - działanie jest łączne. 2. Istnieje element neutralny e, taki że a * e = e * a = a dla każdego a z G - istnieje element neutralny. 3. Dla każdego a z G istnieje element odwrotny a^-1, taki że a * a^-1 = a^-1 * a = e - każdy element ma element odwrotny.

Przykłady grup. Przykładem grupy może być zbiór liczb Z, na których działanie * jest dodawaniem modulo n. Drugim przykładem jest grupa permutacji, której działanie to składanie permutacji. Do grupy można również zaliczyć macierze kwadratowe oznaczone jako GL(n), które spełniają warunki aksjomatów grupy.

Elementy grupy – element neutralny, element odwrotny. Grupa posiada element neutralny e, dla którego dla każdego elementu a z G zachodzi równość a*e = e*a = a. Element odwrotny a^-1, dla każdego elementu a z G spełnia warunek a*a^-1 = a^-1*a = e.

Działania grupowe. Działania grupowe to złożenie dwóch elementów grupy. Wynik działania dwóch elementów grupy również należy do tej grupy.

Operacje binarne. Operacja binarna to działanie określone na dwóch elementach zbioru. Aksjomaty grupy. Aksjomaty grupy to warunki, jakie muszą spełnić elementy grupy. Przykłady działań grupowych. Przykładami działań grupowych mogą być dodawanie i mnożenie wraz z ich odwrotnymi działaniami oraz składanie permutacji.

Własności grupy. Grupa posiada wiele ważnych własności, takich jak zamiana elementów grupy, powtarzanie operacji czy własności elementu neutralnego i elementu odwrotnego.

Zamiana elementów grupy. W grupie zmianie ulegają poszczególne elementy. Powtarzanie operacji. Działają określona ilość razy, aby uzyskać nowy element. Własności elementu neutralnego i elementu odwrotnego. Element neutralny e spełnia warunek, że a * e = a. Element odwrotny a^-1 spełnia warunek, że a * a^-1 = e.

Definicja permutacji. Permutacja to bijekcja zbioru na siebie samego. Zapis permutacji. Permutację można zapisać w formie transpozycji, gdzie transpozycja to zamiana miejscami dwóch elementów w permutacji.

Inwolucje i transpozycje. Inwolucje to permutacje kwadratowe, które są równoważne same do siebie. Transpozycje to permutacje, które wymieniają dwie liczby.

Cykle permutacji. Cykl permutacji to sekwencja elementów, która ulega zamianie. Definicja cyklu. Cykl to ciąg elementów w permutacji. Notacja cykli. Notacja cykli to sposób zapisu permutacji. Związek cykli z permutacjami. Cykle są wykorzystywane do tworzenia permutacji. Działania grupowe na permutacjach. Działanie grupowe na permutacjach polega na mnożeniu permutacji. Mnożenie permutacji. Mnożenie permutacji to złożenie dwóch permutacji. Związek grupy permutacji z grupą symetrii. Grupa permutacji jest podzbiorem grupy symetrii. Rozwiązywanie przykładów. Podczas dzisiejszych zajęć rozwiążecie kilka przykładów, które pozwolą Wam na zrozumienie pojęć omawianych dzisiaj.

Wykonywanie zadań. Po omówieniu teorii i rozwiązaniu przykładów, wykonacie kilka zadań, które pozwolą Wam lepiej zrozumieć koncepcje związane z teorią grup.

Samodzielna praca i rozwiązywanie problemów. Po dzisiejszych zajęciach warto poświęcić chwilę na powtórzenie omówionych pojęć i rozwiązanie dodatkowych problemów związanych z teorią grup.

Omówienie najważniejszych zagadnień. Podczas dzisiejszych zajęć omówiliśmy pojęcie grupy, przedstawiliśmy definicję grupy, przykłady grup oraz elementy grupy. Przeanalizowaliśmy działania grupowe, operacje binarne oraz aksjomaty grupy. Rozmawialiśmy o własnościach grupy, definicji permutacji oraz cyklach permutacji. Omówiliśmy także działania grupowe na permutacjach oraz związek grupy permutacji z grupą symetrii.

Odpowiedzi na pytania uczniów. Dzisiaj nie było pytań, ale jeśli pojawią się, zawsze chętnie odpowiem na nie na kolejnych zajęciach.

Podsumowanie zajęć i podział pracy domowej. Dzisiejsze korepetycje poświęcone były teorii grup. Omówiliśmy pojęcie grupy, przykłady grup, elementy grupy, działania grupowe oraz własności grupy. Przybliżyliśmy również pojęcie permutacji, cykle permutacji oraz działania grupowe na permutacjach. Wykonaliście kilka przykładów oraz ćwiczeń, które pozwoliły Wam lepiej zrozumieć pojęcia związane z teorią grup. Na zakończenie przedstawiłem Wam pracę domową, którą wykonacie przed kolejnymi zajęciami.

Dziękuję za dzisiejsze zajęcia i do zobaczenia na kolejnych korepetycjach.

korepetycje e korepetycje ekorepetycje
korepetycje online e korepetycje online ekorepetycje online
korepetycje z matematyki dyskretnej e korepetycje z matematyki dyskretnej ekorepetycje z matematyki dyskretnej