Korepetycje z matematyki dyskretnej

2021-09-06

Temat zajęć :

Teoria gier - gry dwuosobowe, równowaga Nasha, algorytmy gry

Teoria gier to dziedzina matematyki dyskretnej, która zajmuje się badaniem strategii i decyzji w sytuacjach konfliktowych. Gry dwuosobowe to najprostszy rodzaj gier w teorii gier, których uczestniczą tylko dwie osoby. Równowaga Nasha to stan gry, w którym żaden gracz nie może polepszyć swojej sytuacji, zmieniając swoją strategię, gdy przeciwnik trzyma stałą strategię. Algorytmy gry służą do znajdowania optymalnych strategii dla graczy w grach dwuosobowych.

Skrótowy zarys korepetycji z matematyki dyskretnej :

Witajcie na kolejnych e korepetycjach z matematyki dyskretnej Dzisiejsze zajęcia poświęcimy teorii gier, która w świecie matematyki ma wiele zastosowań. Przede wszystkim pozwala ona na modelowanie sytuacji, w których podejmowanie decyzji przez co najmniej dwie strony ma wpływ na wynik końcowy. Celem dzisiejszych zajęć jest poznanie pojęcia równowagi Nasha oraz algorytmów gry, które pozwalają na osiąganie najlepszych wyników.

Przed rozpoczęciem zajęć poproszę was o wymienienie gier dwuosobowych, z którymi jesteście zaznajomieni. Mogą to być gry planszowe, karciane lub też te wymagające jedynie logiki i umiejętności przewidywania ruchów przeciwnika.

Przejdźmy teraz do omówienia niektórych gier dwuosobowych. Jednym z przykładów jest gra w kości. Gracze rzucają kostkami, starając się osiągnąć jak najwyższy wynik. Innym przykładem jest gra w szachy. Jest to gra logiczna, w której celem jest zbicie króla przeciwnika. Jednak w obu przypadkach istnieją sposoby na osiągnięcie najlepszego wyniku dla każdego gracza.

Właśnie tę strategię określamy jako równowagę Nasha. Jest to taki stan gry, w którym żaden z graczy nie ma motywacji do zmiany swojego ruchu, gdyż zmiana ta nie przyniosłaby mu korzyści. Równowaga Nasha jest idealną sytuacją dla każdego gracza, gdyż pozwalają one na osiągnięcie najlepszego wyniku bez względu na decyzję przeciwnika.

Korzystając z matematycznych definicji, równowaga Nasha jest takim punktem gry, w którym funkcje zysków obu graczy osiągają wartość maksymalną. Przykładowo, jeśli dwóch graczy gra w loterię, to równowaga Nasha będzie taka, w której każdy z nich wybierze taki numer, który pozwoli mu wygrać najwięcej pieniędzy, gdyż zmiana tej decyzji nie przyniosłaby mu korzyści.

Do tej pory poznaliśmy równowagę Nasha jedynie na teoretycznym przykładzie. Jednak równowaga ta ma wiele zastosowań praktycznych. Przykładowo, w branży transportowej równowaga Nasha jest wykorzystywana do określenia ceny biletów lub kosztów przewozu towarów, które później odpowiada za maksymalizację zysków, a zatem równowaga ta jest bardzo pożyteczna.

Na zajęciach omówimy także algorytmy gry, czyli matematyczne modele, które pozwalają na osiągnięcie najlepszego wyniku w danej grze. Jednym z tych algorytmów jest tzw. min-max, który polega na przewidywaniu ruchów przeciwnika i maksymalizacji swojego zwycięstwa.

Drugim algorytmem jest alpha-beta, który jak można przypuszczać, jest modyfikacją min-maxa i służy do wyznaczania optymalnych ruchów w grach o nieznanym stanie końcowym.

Aby lepiej zrozumieć zasady działania algorytmów gry, można spróbować rozwiązać pewien problem gry korzystając z nich. Jeśli na konsoli chcesz grać w grę, w której musisz dotrzeć do celu omijając przeszkody, to algorytmy gry pozwolą na osiągnięcie najlepszego wyniku w jak najkrótszym czasie.

Na zakończenie dzisiejszych zajęć proponuję porównanie wybranych algorytmów gry na przykładzie konkretnej gry. Zadaniem domowym będzie przeprowadzenie takiego porównania przy użyciu innej gry.

Dla zainteresowanych tematyką teorii gier proponuję literaturę dodatkową taką jak Theory of Games and Economic Behaviour J. von Neumanna i O. Morgensterna.

Podsumowując dziś poznaliśmy koncepcję równowagi Nasha oraz algorytmy gry. Dzięki temu jesteśmy w stanie osiągnąć najlepszy wynik w danej grze, niezależnie od decyzji przeciwnika. Teoria gier ma wiele zastosowań praktycznych, które pozwalają na osiągnięcie optymalnej strategii w różnych dziedzinach życia.

Czy macie jakieś pytania lub uwagi? Pozostaję do dyspozycji.

korepetycje e korepetycje ekorepetycje
korepetycje online e korepetycje online ekorepetycje online
korepetycje z matematyki dyskretnej e korepetycje z matematyki dyskretnej ekorepetycje z matematyki dyskretnej