Korepetycje z matematyki dyskretnej

2023-07-28

Temat zajęć :

Kombinatoryka - permutacje, kombinacje, rozłączność, ciągi arytmetyczne

Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się liczeniem różnych ustawień lub wyborów elementów z pewnego zbioru. Permutacje to ustawienia elementów w konkretnej kolejności, kombinacje to sposób wyboru elementów bez uwzględnienia kolejności. Rozłączność odnosi się do zestawów elementów, których nie można jednocześnie wybrać. Ciągi arytmetyczne to sekwencje liczb, w których każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tę samą wartość.

Skrótowy zarys korepetycji z matematyki dyskretnej :

E Korepetycje z matematyki dyskretnej – jak to działa? Powitanie ucznia. Witajcie Witam serdecznie na kolejnych e korepetycjach z matematyki dyskretnej. Przede wszystkim chciałbym podziękować za wybór właśnie mnie jako Waszego nauczyciela. Jestem przekonany, że dzięki moim lekcjom opanujecie wiele trudnych zagadnień i zdobędziecie dobrą ocenę z matematyki dyskretnej.

Przedstawienie planu zajęć. W trakcie naszych zajęć będziemy zajmować się różnymi zagadnieniami z matematyki dyskretnej, które przydadzą się na egzaminie i w codziennym życiu. Dziś skupimy się na permutacjach, kombinacjach, rozłączności oraz ciągach arytmetycznych. Na początku przedstawię te pojęcia na przykładach, abyście mieli łatwiej zrozumieć zagadnienia. Następnie przejdziemy do obliczeń w tych dziedzinach.

Definicja permutacji. Permutacja to uporządkowany układ elementów danej zbiorowości. Innymi słowy, permutacje to różne kolejności ustawienia elementów w zbiorze. Rozważmy schematycznie zbiór {a, b, c}. Wówczas permutacjami elementów tego zbioru będą abc, acb, bac, bca, cab, cba. Jest to zestawienie wszystkich możliwych układów liter, które mogą pojawić się w permutacji.

Przykłady permutacji. Pojedynczą permutacją wtedy, gdy w układzie elementów nie występują powtórzenia. W przypadku zbioru {a, b, c} mamy więc sześć permutacji. Ale co z powtórzeniami? W przypadku, kiedy w zbiorze występują powtórzenia, liczba permutacji znacząco się zmniejsza. Na przykład w przypadku zbioru {a, a, b, c}, liczba permutacji to tylko 12.

Obliczanie permutacji bez powtórzeń. Jeżeli w zbiorze nie występują elementy powtarzające się, to liczba permutacji wynosi n, gdzie n oznacza liczbę elementów w zbiorze. W przypadku zbioru {a, b, c} mamy zatem n = 3, więc z liczbą permutacji jest to prosto. V(3) = 3 = 6.

Obliczanie permutacji z powtórzeniami. W przypadku, kiedy w zbiorze są elementy powtarzające się, musimy brać pod uwagę, że każdy element występuje kilka razy. Dlatego liczba permutacji z powtórzeniami to n^r, gdzie n to liczba elementów w zbiorze, a r to liczba powtórzeń.

Definicja kombinacji. Kombinacja to uporządkowany układ elementów z wybraną liczbą elementów. Kombinacji jest mniej niż permutacji, ponieważ ustawienie elementów nie ma znaczenia. Kombinacje składa się z elementów w sposób taki, że położenie każdego z nich nie ma znaczenia.

Przykłady kombinacji. Dla zbioru {a, b, c, d} istnieją cztery możliwe kombinacje dwuelementowe, czyli {a, b}, {a, c}, {a, d} oraz {b, c}.

Obliczanie kombinacji bez powtórzeń. Liczba kombinacji bez powtórzeń o r elementach z n elementów wynosi nCr = n/(n-r)*r. Obliczanie kombinacji z powtórzeniami. Liczba kombinacji z powtórzeniami, n elementów w k ciągach, to (n+k-1)Ck. Przykładowo, dla zbioru {a, b, c, d} i 2-elementowych kombinacji z powtórzeniami, liczba możliwych kombinacji to 15.

Definicja rozłączności. Dwie kombinacje są rozłączne, jeśli są one całkowicie różne i nie mają wspólnych elementów.

Przykłady rozłączności. Dzieląc na dwa zespoły piłkarzy ze zbioru {a, b, c, d, e} pierwszy zespół może składać się z trzech piłkarzy, a drugi z dwóch. Możemy to zrobić na wiele sposobów. Jeżeli wybierzemy piłkarzy {a, b, c} dla pierwszego zespołu, to wtedy piłkarzami drugiego zespołu można się wybierać z {d,e} lub z {d,c}, ale nie z {a,b,c}.

Dowody rozłączności. Dwa zbiory elementów są rozłączne, kiedy nie mają wspólnych elementów. Można to łatwo udowodnić za pomocą rysunków lub materiałów edukacyjnych.

Przykład zastosowania rozłączności. Rozłączność jest potrzebna do obliczeń zbiorów, w których powtarzają się elementy. Dzięki temu wiadomo, ile występuje unikalnych elementów.

Definicja ciągu arytmetycznego. Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każdy kolejny element różni się o stałą wartość od poprzedniego elementu. Nazwiemy tę wartość r. Każdy ciąg składa się z n elementów.

Własności ciągów arytmetycznych. Często stosuje się ciągi arytmetyczne do dokładnego opisu zjawisk w świecie rzeczywistym. Są one szczególnie przydatne w dziedzinie finansów.

Obliczanie sumy ciągu arytmetycznego. Suma ciągu arytmetycznego to suma wszystkich elementów w ciągu. Można ją obliczyć dzięki odpowiednim wzorom, jak również wyliczyć ją przy pomocy programów komputerowych.

Przypomnienie najważniejszych pojęć i wzorów. Oto przedstawiamy najważniejsze wzory i pojęcia, które były omawiane w trakcie naszych zajęć. - Permutacja bez powtórzeń n = n*(n-1)*(n-2)*.*1. - Permutacja z powtórzeniami n^r. - Kombinacja bez powtórzeń nCr = n/(n-r)*r. - Kombinacja z powtórzeniami (n+k-1)Ck. - Rozłączność. - Ciąg arytmetyczny an = a1 + (n-1)*r. - Suma ciągu arytmetycznego S = n/2[2a1+(n-1)r]. Wyjaśnienie wątpliwości ucznia. Jeżeli podczas naszych zajęć pojawią się jakiekolwiek wątpliwości lub pytania, nie wahajcie się pytać. Jesteśmy tu po to, aby pomóc Wam w zrozumieniu problemów z matematyką dyskretną.

Informacja o tematyce następnej lekcji. Na kolejnych zajęciach skupimy się na rekurencji oraz funkcjach logicznych. Będziemy omawiać sposoby, w jakie te zagadnienia są wykorzystywane w praktyce.

Podziękowanie uczniowi za pracę. Dziękuję za zaangażowanie i ciężką pracę na naszych zajęciach. Zawsze jestem zadowolony, kiedy moja praca pomaga Wam przyswoić nowe umiejętności i wiedzę.

Przypomnienie o terminie kolejnej korepetycji. Następna korepetycja odbędzie się w poniedziałek. Będziemy kontynuować nasze zajęcia z matematyki dyskretnej i skupimy się na nowych zagadnieniach. Postaramy się jak najlepiej przygotować dla Was lekcję, abyście mogli opanować zadane tematy. Do zobaczenia więc za tydzień.

korepetycje e korepetycje ekorepetycje
korepetycje online e korepetycje online ekorepetycje online
korepetycje z matematyki dyskretnej e korepetycje z matematyki dyskretnej ekorepetycje z matematyki dyskretnej