Korepetycje z matematyki

2022-09-04

Temat zajęć :

Całki nieoznaczone i oznaczone, metoda całkowania przez podstawienie

Całki to narzędzie matematyczne, które pozwala na obliczenie pola powierzchni figur, ale także służy do obliczania odległości, objętości brył czy innych wielkości fizycznych. Wyróżnia się dwie rodzaje całek oznaczone, których wartość jest określona, oraz nieoznaczone, których wynik może przyjmować różne wartości. Metoda całkowania przez podstawienie to jeden ze sposobów rozwiązywania całek, polegający na zastąpieniu jednego wyrażenia przez inne, proste do policzenia. Dzięki tej metodzie można rozwiązywać skomplikowane układy równań matematycznych.

Skrótowy zarys korepetycji z matematyki :

Całki nieoznaczone i oznaczone to podstawowe pojęcia, które pojawiają się na e korepetycjach z matematyki. Korepetycje z tego przedmiotu to nie tylko zwykła nauka, ale również szansa na doskonalenie umiejętności. Co więcej, to także świetna okazja do pogłębienia swoich zainteresowań w tym zakresie. W dzisiejszym artykule skupimy się na metodzie całkowania przez podstawienie.

Przypomnijmy sobie, czym jest całka nieoznaczona i oznaczona. Całka oznaczona to wartość, jaką przyjmują granice całkowania. Natomiast całka nieoznaczona to funkcja, której pochodną jest funkcja pierwotna. Całkowanie to proces odwracania różniczkowania - poszukiwanie funkcji, której pochodna jest równa badanej funkcji. Dlatego też warto wdrożyć w sobie umiejętność znajdowania całek, co z pewnością pozwoli zrozumieć wiele zagadnień, które pojawiają się na korepetycjach.

Metoda całkowania przez podstawienie to jedna z najważniejszych metod rozwiązania całek. Polega ona na zastąpieniu w całce jednej zmiennej nową zmienną podstawową. Dzięki temu, możemy uprościć całkę i ułatwić sobie jej obliczenie. Co więcej, warto zauważyć, że odpowiednie podstawienie może zmienić formę całki, czyniąc ją prostszą i łatwiejszą do rozwiązania.

Zacznijmy od rozwiązania pierwszej całki ∫(2x-1)³dx, podstawienie u = 2x-1. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

∫u³/8 du = (u⁴/32) + C. Następnie, podstawiamy wartość u = 2x-1, co daje nam. ∫(2x-1)³ dx = 1/8 (2x-1)⁴ + C. Kolejną całką, którą obliczymy jest ∫(5x²+3x+2)dx, podstawienie u = 5x²+3x+2. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

∫(1/10)u du = (1/20)u² + C. Następnie, podstawiamy wartość u = 5x²+3x+2, co daje nam. ∫(5x²+3x+2)dx = (1/10)(5x²+3x+2)² + C. Kolejna całka, którą obliczymy to ∫(x-5)√(x-1)dx, podstawienie u = x-1. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

(2/3) u³/2. Następnie, podstawiamy wartość u = x-1, co daje nam. ∫(x-5)√(x-1)dx = (2/3) (x-1)³/2 + C. Przejdźmy teraz do obliczenia całki ∫₀¹ (3x+2)²dx, podstawienie u = 3x+2. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

1/9 u³. Następnie, podstawiamy wartość u = 3x+2, co daje nam. ∫₀¹ (3x+2)²dx = 1/9 (3x+2)³ (3/2) + C. Kolejną całką, którą obliczymy jest ∫₀π/2 (sin²x+2cos²x)dx, podstawienie u = cosx. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

(1/2) u + (1/4) sin(2x). Następnie, podstawiamy wartość u = cosx, co daje nam. ∫₀π/2 (sin²x+2cos²x)dx = (1/2) cosx + (1/4) sin2x + C. Teraz, przejdźmy do obliczenia całki ∫₁⁴ (x³+2x)√(x²+1)dx, podstawienie u = x²+1. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

(2/5) u⁵/2 - (4/3) u³/2. Następnie, podstawiamy wartość u = x²+1, co daje nam. ∫₁⁴ (x³+2x)√(x²+1)dx = (2/5) (x²+1)⁵/2 - (4/3) (x²+1)³/2 + C. Kolejną całką, którą obliczymy jest ∫(2x+5)³dx przez podstawienie u = 2x+5. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

(1/8) u⁴. Następnie, podstawiamy wartość u = 2x+5, co daje nam. ∫(2x+5)³dx = (1/8)(2x+5)⁴ + C. Teraz przejdźmy do obliczenia całki ∫₀¹ (x-3)²dx przez podstawienie u = x-3. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

U³/3. Następnie, podstawiamy wartość u = x-3, co daje nam. ∫₀¹ (x-3)²dx = (x-3)³/3 + C. Ostatnią całką, którą obliczymy to ∫₀π/4 (cos²x+sin²x)dx przez podstawienie u = tanx. W tym przypadku, wyznaczamy całkę początkową przez podstawienie.

U. Następnie, podstawiamy wartość u = tanx, co daje nam. ∫₀π/4 (cos²x+sin²x)dx = tanx + C. Podsumowując, metoda całkowania przez podstawienie to niezwykle ważna metoda rozwiązania całek, którą na pewno omawiamy na e korepetycjach z matematyki. Pamiętajmy, że odpowiednie podstawienie może zmienić formę całki, a co za tym idzie, ułatwić nam jej obliczenie. Zachęcamy do dalszej samodzielnej pracy nad całkowaniem przez podstawienie oraz zapraszamy na kolejne e korepetycje. Dziękujemy za udział w dzisiejszych zajęciach i przypominamy o terminie kolejnych korepetycji.

korepetycje e korepetycje ekorepetycje
korepetycje online e korepetycje online ekorepetycje online
korepetycje z matematyki e korepetycje z matematyki ekorepetycje z matematyki