Algebra liniowa - wektory, macierze, układy równań liniowych, przekształcenia liniowe, bazy, ortogonalność, wartości własne i wektory własne, zastosowania w grafice, optymalizacji, kryptografii itd

Konspect zajęć

I. Wektory
- definicja
- operacje na wektorach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę)
- wektory jednostkowe i ich zastosowanie
- norma wektora
- iloczyn skalarny i wektorowy
- geometria wektorowa

II. Macierze
- definicja
- operacje na macierzach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę)
- mnożenie macierzy
- macierz odwrotna i jej zastosowanie
- macierz transponowana i jej zastosowanie
- macierz jednostkowa i macierz diagonalna
- wyznacznik macierzy

III. Układy równań liniowych
- definicja
- metoda eliminacji Gaussa
- metoda Gaussa-Jordana
- macierz rozszerzona układu równań
- układy równań z nieskończoną liczbą rozwiązań i bez rozwiązań
- metoda Cramera

IV. Przekształcenia liniowe
- definicja
- macierz przekształcenia liniowego
- przekształcenie odwrotne
- przekształcenie jednostkowe
- przekształcenie afiniczne
- przekształcenie ortogonalne
- zastosowanie w grafice, optymalizacji, kryptografii itd.

V. Bazy
- definicja bazy
- baza standardowa
- zmiana bazy
- zastosowanie w przestrzeniach o skończonej i nieskończonej wymiarowości
- twierdzenie o wymiarze sumy podprzestrzeni

VI. Ortogonalność
- definicja produktów skalarnych i wektorowych
- twierdzenie Pitagorasa dla przestrzeni euklidesowych
- przestrzeń ortogonalna i ortonormalna
- zastosowanie w matematyce, fizyce, inżynierii itd.

VII. Wartości własne i wektory własne
- definicja wartości i wektorów własnych
- metoda przeciwna do twierdzenia o wartościach i wektorach własnych
- macierz diagonalizowalna
- macierz symetryczna i jej wartości własne
- zastosowania w analizie numerycznej, dynamice układów ładunków itd.