Korepetycje z algebry

2021-02-19

Temat zajęć :

Ciągi liczbowe - rozwijanie wzorów, ograniczenia, zadania na sumy częściowe ciągów

Ciągi liczbowe to sekwencje kolejnych liczb, które mogą mieć określone reguły tworzenia. Rozwijanie wzorów dla ciągów polega na znalezieniu formuł lub algorytmów, które pozwalają obliczyć dowolny wyraz ciągu na podstawie znanych wcześniejszych liczb. Ograniczenia ciągów służą do określania ich granic i zachowań w nieskończoności. Zadania na sumy częściowe ciągów polegają na obliczeniu sumy wybranych wyrazów ciągu oraz na znajdowaniu reguł pozwalających na szybkie obliczanie tych sum.

Skrótowy zarys korepetycji z algebry :

Ciągi liczbowe są jednym z najważniejszych tematów omawianych na e korepetycjach z algebry. Ich znajomość stanowi podstawę dla matematyki wyższej i jest niezbędna w wielu dziedzinach, takich jak fizyka, informatyka czy ekonomia. W artykule przedstawimy omówienie schematu sumowania arytmetycznego i geometrycznego, przykłady rozwijania wzorów na podstawie schematu sumowania oraz omówimy pojęcie ograniczenia dolnego i górnego oraz sumy częściowej ciągu.

Schemat sumowania arytmetycznego i geometrycznego. Schemat sumowania to sposób wyliczania sumy elementów ciągu liczbowego. Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a1, różnicy d i liczbie elementów n, schemat sumowania jest następujący.

S = n/2 * (2 * a1 + (n - 1) * d). Natomiast schemat sumowania ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1, ilorazie q i liczbie elementów n jest następujący.

S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q). Obie formuły są bardzo istotne przy rozwiązywaniu zadań dotyczących ciągów liczbowych i niezbędne na e korepetycjach z algebry.

Przykłady rozwijania wzorów na podstawie schematu sumowania. Przykład 1 Oblicz sumę ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 2, różnicy równiej 4 i 10 elementach.

Rozwiązanie. S = 10/2 * (2 * 2 + (10 - 1) * 4) = 5 * (4 + 36) = 200. Suma ciągu wynosi 200. Przykład 2 Oblicz sumę ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 3, ilorazie równym 2 i 6 elementach.

Rozwiązanie. S = 3 * (1 - 2^6) / (1 - 2) = 3 * (1 - 64) / (-1) = 189. Suma ciągu wynosi 189. Zadania praktyczne. 1. Oblicz sumę ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 5, różnicy równiej 3 i 20 elementach.2. Oblicz sumę ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 4, ilorazie równym 1/2 i 8 elementach.

Ograniczenia dolne i górne. Ograniczenia dolne i górne to pojęcia dotyczące ciągów liczbowych, mówiące o minimalnej i maksymalnej wartości jaką może przyjąć ciąg. Ograniczenie dolne to najmniejsza liczba, jaką może przyjąć ciąg, natomiast ograniczenie górne to wartość maksymalna. Ograniczenie dolne oznaczane jest symbolem infimum, a ograniczenie górne symbolem supremum.

Przykłady obliczeń ograniczeń. Przykład 1 Oblicz ograniczenie dolne i górne dla ciągu liczbowego {2, 5, 7, 8, 10}. Rozwiązanie. Ograniczenie dolne inf{2, 5, 7, 8, 10} = 2. Ograniczenie górne sup{2, 5, 7, 8, 10} = 10. Ograniczenie dolne wynosi 2, a ograniczenie górne 10. Przykład 2 Oblicz ograniczenie dolne i górne dla ciągu liczbowego {-1, 2, -3, 4, -5}. Rozwiązanie. Ograniczenie dolne inf{-1, 2, -3, 4, -5} = -5. Ograniczenie górne sup{-1, 2, -3, 4, -5} = 4. Ograniczenie dolne wynosi -5, a ograniczenie górne 4. Zadania praktyczne. 1. Oblicz ograniczenie dolne i górne dla ciągu liczbowego {-4, -2, 0, 2, 4, 6, 12}. 2. Oblicz ograniczenie dolne i górne dla ciągu liczbowego {2, 4, 8, 16, 32, 64}. Suma częściowa ciągu. Suma częściowa ciągu to suma pewnej liczby jego pierwszych wyrazów. Suma taka może dotyczyć określonej liczby elementów lub też objąć cały ciąg. Możemy ją obliczyć na podstawie schematu sumowania arytmetycznego lub geometrycznego.

Przykłady zadania na sumy częściowe ciągów. Przykład 1 Oblicz sumę 4 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 3 i różnicy równiej 4.

Rozwiązanie. S4 = 4/2 * (2 * 3 + (4 - 1) * 4) = 2 * (6 + 12) = 36. Suma 4 pierwszych wyrazów ciągu wynosi 36. Przykład 2 Oblicz sumę 5 pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 2 i ilorazie równym 3.

Rozwiązanie. S5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 2 * (-242) / (-2) = 242. Suma 5 pierwszych wyrazów ciągu wynosi 242. Zadania praktyczne. 1. Oblicz sumę 10 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i różnicy równiej 3.2. Oblicz sumę 8 pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 4 i ilorazie równym 1/2.

Podsumowanie. Ciągi liczbowe są bardzo istotnym tematem omawianym na e korepetycjach z algebry. Ich znajomość umożliwia rozwiązywanie wielu zadań matematycznych oraz jest niezbędna w wielu dziedzinach nauki. W artykule przedstawiliśmy omówienie schematu sumowania arytmetycznego i geometrycznego, przykłady rozwijania wzorów na podstawie schematu sumowania, omówiliśmy pojęcie ograniczeń dolnego i górnego oraz sumy częściowej ciągu. Wszystkie omówione zagadnienia są niezbędne dla zapewnienia utrwalenia wiedzy i skutecznej nauki matematyki na korepetycjach.

korepetycje e korepetycje ekorepetycje
korepetycje online e korepetycje online ekorepetycje online
korepetycje z algebry e korepetycje z algebry ekorepetycje z algebry